【题目】函数.
(1)若函数在上为增函数,求的取值范围;
(2)若函数在上不单调时;
①记在上的最大值、最小值分别为,求;
②设,若,对恒成立,求的取值范围.
【答案】(1)(2)①②
【解析】
试题分析:(1)先转化:分段函数在上为增函数,各段都为增函数且在结合点处(本题连续,不需讨论)也单调递增,因此只需在为增函数,所以(2)①先根据函数在上不单调,得,而此时函数为先增再减再增,即在上是增函数,在上是减函数,在上是增函数,因此根据定义区间与单调区间位置关系分类讨论,确定最值,最后列出函数解析式②先转化不等式恒成立:由得,所以,对恒成立,等价于在上的值域是的子集,由①中最值情况可得满足条件:当时,,当时,,当时,,再研究对应函数的取值范围,最后求并集得结果
试题解析:由已知得,.............1分
令,则,所以在上为增函数;.........2 分
令,则,
令,得,所以在和上是增函数,
在上为减函数...................... 3分
(1)因为在上是增函数,所以在为增函数,所以............4分
(2)因为函数在上不单调,所以,
①当时,在上是增函数,在上是减函数,在上是增函数,
所以............5分
当,即时,,
;........................6分
当,即时, ,
;...........................7分
当时,在上是减函数,
所以,故,
综上得.......................8分
②对恒成立,即在上的值域是的子集,
当时,,即,所以,
令,易得在上是增函数,
则,所以..........................10分
当时,,即,所以,
令,易得在上是增函数,
则,所以....................11分
当时,,即,即,
所以,所以,综上得.............12分
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【题目】已知圆经过点, ,并且直线平分圆.
(1)求圆的方程;
(2)若直线与圆交于两点,是否存在直线,使得(为坐标原点),若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
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【题目】我国古代数学名著《续古摘奇算法》(杨辉)一书中有关于三阶幻方的问题:将1,2,3,4,5,6,7,8,9分别填入的方格中,使得每一行,每一列及对角线上的三个数的和都相等,我们规定:只要两个幻方的对应位置(如每行第一列的方格)中的数字不全相同,就称为不同的幻方,那么所有不同的三阶幻方的个数是( )
8 | 3 | 4 |
1 | 5 | 9 |
6 | 7 | 2 |
A. 9 B. 8 C. 6 D. 4
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,已知以为圆心的圆及其上一点.
(1)是否存在直线与圆有两个交点,并且,若有,求此直线方程,若没有,请说明理由;
(2)设点满足:存在圆上的两点和使得,求实数的取值范围.
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【题目】已知椭圆: ()的两个焦点为, ,离心率为,点, 在椭圆上, 在线段上,且的周长等于.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)过圆: 上任意一点作椭圆的两条切线和与圆交于点, ,求面积的最大值.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在直角坐标系中,设倾斜角为的直线的参数方程为(为参数)与曲线(为参数)相交于不同的两点.
(1)若,求线段的中点的直角坐标;
(2)若直线的斜率为2,且过已知点,求的值.
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