Question

设椭圆中心在坐标原点，焦点在x轴上，一个顶点坐标为（2，0），离心率为

3

2

．
（1）求这个椭圆的方程；
（2）若这个椭圆左焦点为F₁，右焦点为F₂，过F₁且斜率为1的直线交椭圆于A、B两点，求△ABF₂的面积．

Answer 1

分析：（1）设椭圆的方程为

x2

a2

+ 

y2

b2

=1 (a＞b＞0)，有条件求得a 和c，从而求得b，进而得到椭圆的方程．
（2）把直线AB的方程 代入椭圆的方程化简，利用根与系数的关系，求出|y₁-y₂|的值，利用S_△ABF2=S△AF1F2+S△BF1F2=

1

2

|F1F2|•|y1|+

1

2

|F1F2|•|y2| 求得结果．

解答：解：（1）设椭圆的方程为

x2

a2

+ 

y2

b2

=1 (a＞b＞0)，
由题意，a=2，

c

a

=

3

2

，∴c=

3

，b=1，
∴椭圆的方程为

x2

4

+ y2= 1．
（2）左焦点F₁（-

3

，0），右焦点F₂（

3

，0），设A（x₁，y₁ ），
B（x₂，y₂），
则直线AB的方程为 y=x+

3

．
由

y=x+ 3 x2 4 +y2= 1

，消x得 5y²-2

3

y-1=0．∴y₁+y₂=

2 3

5

，y₁y₂=-

1

5

，
∴|y₁-y₂|=

|y1+y2|2-4y1y2

=

4 2

5

．
∴S_△ABF2=S△AF1F2+S△BF1F2=

1

2

|F1F2|•|y1|+

1

2

|F1F2|•|y2| 
=

1

2

|F1F2|•|y1 - y2|=

1

2

×2

3

×

4 2

5

=

4 6

5

．

点评：本题考查椭圆的标准方程，以及椭圆的简单性质的应用，利用 S_△ABF2=S△AF1F2+S△BF1F2 是解题的难点．