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设f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为实常数),f(0)=1,
(Ⅰ)若f(-2)=0,且对任意实数x均有f(x)≥0成立,求g(x)的表达式;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,若h(x)=f(x)+kx不是[-2,2]上的单调函数,求实数k的取值范围;
(Ⅲ)设a>0,m>0,n<0且m+n>0,当f(x)为偶函数时,求证:g(m)+g(n)<0.
【答案】分析:(Ⅰ)根据题意,由f(0)=1可得c=1;再由f(-2)=0可得4a-2b+1=0,进而又由f(x)≥0对x∈R恒成立,知a>0且△=b2-4a≤0;与4a-2b+1=0联立可得(b-1)2≤0,即可得b、a的值;由a、b、c的值可得f(x)的解析式,进而可得g(x)的解析式;
(Ⅱ)由(Ⅰ)知h(x)的解析式,分析可得其图象的对称轴为x=-2(k+1),再由题意,结合二次函数的性质,可得-2<-2(k+1)<2,解可得答案;
(Ⅲ)根据f(x)为偶函数,可得b=0,即可得f(x)=ax2+1,又由a>0,由二次函数的奇偶性可得g(x)在(0,+∞)上为减函数;又由题意,对m、n的关系变形可得m>-n>0,可得证明.
解答:解:(Ⅰ)由f(0)=c=1,则c=1,
由f(-2)=0得4a-2b+1=0,
又由f(x)≥0对x∈R恒成立,知a>0且△=b2-4a≤0,
即b2-2b+1=(b-1)2≤0,

从而
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,其图象的对称轴为x=-2(k+1),
再由h(x)在[-2,2]上不是单调函数,
故得-2<-2(k+1)<2,
解可得-2<k<0,
(Ⅲ)证明:若f(x)为偶函数,则f(-x)=f(x),
则b=0,
∴f(x)=ax2+1,
又由a>0,则f(x)在(0,+∞)上为增函数,
从而可得g(x)在(0,+∞)上为减函数,
又m>0,n<0,m+n>0,
∴m>-n>0,从而g(m)<g(-n)
且g(-n)=-f(-n)=-f(n)=-g(n)
故得g(m)<-g(n),
因此,g(m)+g(n)<0.
点评:本题考查函数奇偶性的应用,涉及二次函数的性质,解题时要充分利用二次函数的性质和函数奇偶性的性质.
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x1+x2
2
)>
1
2
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