Question

（2012•台州模拟）已知函数f（x）=lnx-

1

2

ax²-2x（a＜0）
（Ⅰ）若函数f（x）存在单调递减区间，求a的取值范围；
（Ⅱ）若a=-

1

2

且关于x的方程f（x）=-

1

2

x+b在[1，4]上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围．

Answer 1

分析：（I）利用导数进行理解，即f'（x）＜0在（0，+∞）上有解．可得ax²+2x-1＞0在正数范围内至少有一个解，结合根的判别式列式，不难得到a的取值范围．
（II）关于x的方程f（x）=-

1

2

x+b可化为：

1

4

x²-

3

2

x+lnx-b=0，设方程的左边为g（x），利用导数讨论g（x）的单调性，得到它在[1，4]上先减再增，并且得到g（2）是极小值，g（1）和g（4）是极大值，由此建立不等式组并解之，可得实数b的取值范围．

解答：解：（I）对函数求导数，得f'（x）=-

ax2+2x-1

x

（x＞0）
依题意，得f'（x）＜0在（0，+∞）上有解．即ax²+2x-1＞0在x＞0时有解．
∴△=4+4a＞0且方程ax²+2x-1=0至少有一个正根．
再结合a＜0，得-1＜a＜0…（5分）
（II）a=-

1

2

时，f（x）=-

1

2

x+b即

1

4

x²-

3

2

x+lnx-b=0
设g（x）=

1

4

x²-

3

2

x+lnx-b，则g'（x）=

(x-2)(x-1)

2x

∴当x∈（0，1）时，g'（x）＞0；当x∈（1，2）时，g'（x）＜0；当x∈（2，4）时，g'（x）＞0．
得函数g（x）在（0，1）和（2，4）上是增函数．在（1，2）上是减函数
∴g（x）的极小值为g（2）=ln2-b-2；g（x）的极大值为g（1）=-b-

5

4

，且g（4）=-b-2+2ln2；---（5分）
∵方程g（x）=0在[1，4]上恰有两个不相等的实数根．
∴

g(1)≥0 g(2)＜0 g(4)≥0

，解之得：ln2-2＜b≤-

5

4

…（5分）

点评：本题主要考查函数与导数，以及函数与方程思想，体现了导数值为一种研究函数的工具，能完成单调性的判定和最值的求解方程，同时能结合常用数学思想，来考查同学们灵活运用知识解决问题的能力．