Question

【题目】在 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，已知 ， .
（1）当 时，求 的面积；
（2）求 周长的最大值.

Answer 1

【答案】
（1）解：由条件得： ，∴ ，∴ .① 时， ， ，∴ ，② 时， ，∴ ， ，∴ .

∴ 或

（2）解：设 的外接圆半径为 ，∴由正弦定理得： ，∴ ，∴周长 .∵ ，∴ ，

∴ ，∴ ，

∴ ，

∵ ，∴ ∴ ，

∴

【解析】(1)根据题意利用三角恒等变换化简已知的代数式可得sin A sin ( B C ) = sin 2 B，结合三角形的内角和为由诱导公式求出 sin ( B + C ) sin ( B C ) = sin 2 B ，利用两角和差的正弦公式整理可得 2 cos B sin C = 2 sin B cos B，分情况讨论cos B的值进而得出三角形的面积的值。(2)设出 Δ A B C 的外接圆半径为 R，利用正弦定理分别求出边a、b、c的关系式进而得到周长 l = a + b + c = 2 + 2 R sin B + 2 R sin C 整理化简为同角三角函数2 + 4 sin ( B + ) ，由角的取值范围借助正弦函数的最值情况求出 sin ( B + ) ∈ ( , 1 ]，进而得出周长的最大值。