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【题目】已知定义在R上的连续函数g(x)满足:①当x>0时,g′(x)>0恒成立(g′(x)为函数g(x)的导函数);②对任意的x∈R都有g(x)=g(﹣x),又函数f(x)满足:对任意的x∈R,都有 成立.当 时,f(x)=x3﹣3x.若关于x的不等式g[f(x)]≤g(a2﹣a+2)对x∈[﹣ ]恒成立,则a的取值范围是(
A.a∈R
B.0≤a≤1
C.
D.a≤0或a≥1

【答案】D
【解析】解:因为函数g(x)满足:当x>0时,g′(x)>0恒成立且对任意x∈R都有g(x)=g(﹣x),
则函数g(x)为R上的偶函数且在[0,+∞)上为单调递增函数,且有g(|x|)=g(x),
所以g[f(x)]≤g(a2﹣a+2)在R上恒成立|f(x)|≤|a2﹣a+2|对x∈[﹣ ﹣2 +2 ]恒成立,
只要使得定义域内|f(x)|max≤|a2﹣a+2|min , 由于当x∈[﹣ ]时,f(x)=x3﹣3x,
求导得:f′(x)=3x2﹣3=3(x+1)(x﹣1),该函数过点(﹣ ,0),(0,0),( ,0),
且函数在x=﹣1处取得极大值f(﹣1)=2,在x=1处取得极小值f(1)=﹣2,
又由于对任意的x∈R都有f( +x)=﹣f(x)f(2 +x)=﹣f( +x)=f(x)成立,
则函数f(x)为周期函数且周期为T=2
所以函数f(x)在x∈[﹣ ]的最大值为2,
所以令2≤|a2﹣a+2|解得:a≥1或a≤0.
故选:D.
【考点精析】解答此题的关键在于理解利用导数研究函数的单调性的相关知识,掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系: 在某个区间内,(1)如果,那么函数在这个区间单调递增;(2)如果,那么函数在这个区间单调递减.

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