Question

已知圆C：x²＋y²＝9，点A(－5，0)，直线l：x－2y＝0.

(1)求与圆C相切，且与直线l垂直的直线方程；
(2)在直线OA上(O为坐标原点)，存在定点B(不同于点A)，满足：对于圆C上任一点P，都有为一常数，试求所有满足条件的点B的坐标．

Answer 1

（1）y＝－2x±3（2）

(1)设所求直线方程为y＝－2x＋b，即2x＋y－b＝0，
∵直线与圆相切，∴＝3，得b＝±3，∴所求直线方程为y＝－2x±3.
(2)(解法1)假设存在这样的点B(t，0)，
当P为圆C与x轴左交点(－3，0)时，＝；
当P为圆C与x轴右交点(3，0)时，＝，
依题意，＝，解得，t＝－5(舍去)，或t＝－.
下面证明点B对于圆C上任一点P，都有为一常数．
设P(x，y)，则y²＝9－x²，
∴＝，从而＝为常数．
(解法2)假设存在这样的点B(t，0)，使得为常数λ，则PB²＝λ²PA²，∴(x－t)²＋y²＝λ²[(x＋5)²＋y²]，将y²＝9－x²代入得，x²－2xt＋t²＋9－x²＝λ²(x²＋10x＋25＋9－x²)，即
2(5λ²＋t)x＋34λ²－t²－9＝0对x∈[－3，3]恒成立，
∴解得(舍去)，
所以存在点B对于圆C上任一点P，都有为常数