Question

【题目】已知函数f（x）=x（lnx﹣2ax）有两个极值点，则实数a的取值范围是（ ）
A.（﹣∞， ）
B.（0， ）
C.（0， ）
D.（ ，+∞）

Answer 1

【答案】C
【解析】解：f（x）=xlnx﹣2ax2（x＞0），f′（x）=lnx+1﹣4ax． 令g（x）=lnx+1﹣4ax，
∵函数f（x）=x（lnx﹣ax）有两个极值点，
则g（x）=0在区间（0，+∞）上有两个实数根．
g′（x）= ﹣4a= ，
当a≤0时，g′（x）＞0，则函数g（x）在区间（0，+∞）单调递增，
因此g（x）=0在区间（0，+∞）上不可能有两个实数根，应舍去．
当a＞0时，令g′（x）=0，解得x= ．
令g′（x）＞0，解得0＜x＜ ，此时函数g（x）单调递增；
令g′（x）＜0，解得x＞ ，此时函数g（x）单调递减．
∴当x= 时，函数g（x）取得极大值．
当x趋近于0与x趋近于+∞时，g（x）→﹣∞，
要使g（x）=0在区间（0，+∞）上有两个实数根，
只需g（ ）=ln ＞0，解得0＜a＜ ．
∴实数a的取值范围是（0， ）．
故选：C．
【考点精析】关于本题考查的函数的极值与导数，需要了解求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值才能得出正确答案．