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(2013•东莞一模)已知函数f(x)=lnx-
ax
,g(x)=f(x)+ax-6lnx,其中a∈R.
(Ⅰ)讨论f(x)的单调性;
(Ⅱ)若g(x)在其定义域内为增函数,求正实数a的取值范围;
(Ⅲ)设函数h(x)=x2-mx+4,当a=2时,若?x1∈(0,1),?x2∈[1,2],总有g(x1)≥h(x2)成立,求实数m的取值范围.
分析:(Ⅰ)f(x)的定义域为(0,+∞),且f(x)=
x+a
x2
,当a≥0时,f′(x)>0,f(x)在(x,+∞)上单调递增;当a>0时,由f′(x)>0,得x>-a;由f′(x)<0,得x<-a.由此能够判断f(x)的单调性.
(Ⅱ)由g(x)=ax-
a
x
-5lnx
,定义域为(0,+∞),知g(x)=a+
a
x2
-
5
x
=
ax2-5x+a
x2
,因为g(x)在其定义域内为增函数,所以?x∈(0,+∞),g′(x)≥0,由此能够求出正实数a的取值范围.
(Ⅲ)当a=2时,g(x)=2x-
2
x
-5lnx
g(x)=
2x2-5x+2
x2
,由g′(x)=0,得x=
1
2
或x=2.当x∈(0,
1
2
)
时,g′(x)≥0当x∈(
1
2
,1)
时,g′(x)<0.所以在(0,1)上,g(x)max=g(
1
2
 )=-3+5ln2
,由此能求出实数m的取值范围.
解答:解:(Ⅰ)f(x)的定义域为(0,+∞),且f(x)=
x+a
x2

①当a≥0时,f′(x)>0,f(x)在(x,+∞)上单调递增;
②当a<0时,由f′(x)>0,得x>-a;由f′(x)<0,得x<-a;
故f(x)在(0,-a)上单调递减,在(-a,+∞)上单调递增.
(Ⅱ)g(x)=ax-
a
x
-5lnx
,g(x)的定义域为(0,+∞),
g(x)=a+
a
x2
-
5
x
=
ax2-5x+a
x2

因为g(x)在其定义域内为增函数,所以?x∈(0,+∞),g′(x)≥0,
∴ax2-5x+a≥0,
∴a(x2+1)≥5x,
a≥
5x
x2+1

a≥[
5x
x2+1
]
max

5x
x2+1
=
5
x+
1
x
5
2
,当且仅当x=1时取等号,
所以a
5
2

(Ⅲ)当a=2时,g(x)=2x-
2
x
-5lnx
g(x)=
2x2-5x+2
x2

由g′(x)=0,得x=
1
2
或x=2.
x∈(0,
1
2
)
时,g′(x)≥0;当x∈(
1
2
,1)
时,g′(x)<0.
所以在(0,1)上,g(x)max=g(
1
2
 )=-3+5ln2

而“?x1∈(0,1),?x2∈[1,2],总有g(x1)≥h(x2)成立”等价于
“g(x)在(0,1)上的最大值不小于h(x)在[1,2]上的最大值”
而h(x)在[1,2]上的最大值为max{h(1),h(2)},
所以有
g(
1
2
)≥h(1)
g(
1
2
) ≥h(2)

-3+5ln2≥5-m
-3+5ln2≥8-2m

m≥8-5ln2
m≥
1
2
(11-5ln2)

解得m≥8-5ln2,
所以实数m的取值范围是[8-5ln2,+∞).
点评:本题考查在闭区间上求函数最值的应用,考查运算求解能力,推理论证能力;考查函数与方程思想,化归与转化思想.综合性强,难度大,有一定的探索性,对数学思维能力要求较高,是高考的重点.解题时要认真审题,仔细解答.
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