Question

过抛物线y²=2mx（m＞0）的焦点F倾斜角为

π

4

的直线交抛物线于A、B两点，弦长为|AB|．命题p：|AB|≥4，命题q：方程

x2

m-2

+

y2

m+1

=1（m∈R）表示双曲线，如p∧q为假，p∨q为真，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：简易逻辑

分析：通过抛物线的焦点坐标，直线的斜率，推出直线方程，然后联立方程组求出AB，通过p、q是真命题求出m的范围，然后通过的话明天的真假，推出结果．

解答： 解∵抛物线y²=2mx（m＞0）∴焦点F(

m

2

，0)，
∵直线AB的倾斜角为

π

4

∴方程为y=x-

m

2

，
∴

y=x- m 2 y2=2mx

⇒x2-3mx+

x2

4

=0，
∴x1+x2=3m，x1•x2=

m2

4

，
|AB|=x₁+x₂+m=4m
若P为真，则4m≥4
∵m＞0
∴m≥1，
若q为真，则（m-2）（m+1）＜0
∴-1＜m＜2
∵p∧q为假，p∨q为真∴p，q一真一假
①P真q假时

m≥1 m≤-1或m≥2

⇒m≥2
②p假q真时，

m＜1 -1＜m＜2

⇒-1＜m＜1
综上所述m∈（-1，1）∪[2，+∞）．

点评：本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，弦长公式的应用，复合命题的真假的判断与应用，考查分析问题解决问题的能力．