Question

1．函数y=$\frac{{{x^2}+2}}{x-1}$（x＞1）的最小值是2$\sqrt{3}$+2．

Answer 1

分析 利用基本不等式法进行求解即可．

解答 解：y=$\frac{{{x^2}+2}}{x-1}$=$\frac{（x-1）^{2}+2（x-1）+3}{x-1}$=x-1+$\frac{3}{x-1}$+2，
∵x＞1，
∴x-1＞0，
则x-1+$\frac{3}{x-1}$+2≥2$\sqrt{（x-1）•\frac{3}{x-1}}$+2=2$\sqrt{3}$+2，
当且仅当x-1=$\frac{3}{x-1}$，即x-1=$\sqrt{3}$，x=$\sqrt{3}+1$时，取等号，
故y=$\frac{{{x^2}+2}}{x-1}$（x＞1）的最小值是2$\sqrt{3}$+2，
故答案为：2$\sqrt{3}$+2

点评 本题主要考查函数最值的求解，利用基本不等式法是解决本题的关键．