Question

直线

x

4

+

y

3

=1椭圆

x2

16

+

y2

9

=1相交于A，B两点，该椭圆上点P，使得△PAB面积等于3，这样的点P共有

 

个．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设出P₁的坐标，表示出四边形P₁AOB面积S利用两角和公式整理后．利用三角函数的性质求得面积的最大值，进而求得△P₁AB的最大值，利用6√2-6＜3判断出点P不可能在直线AB的上方，进而推断出在直线AB的下方有两个点P，

解答： 解：设P₁（4cosα，3sinα）（0＜α＜

π

2

）），

即点P₁在第一象限的椭圆上，考虑四边形P₁AOB面积S，
S=S_△OAP1+S_△OBP1=

1

2

×4（3sinα）+

1

2

×3（4cosα）=6（sinα+cosα）=6

2

sin（α+

π

4

），∴S_max=6

2

，
∵S_△OAB=

1

2

×4×3=6为定值，
∴S_△P1AB的最大值为6

2

-6．
∵6

2

-6＜3，
∴点P不可能在直线AB的上方，显然在直线AB的下方有两个点P，
故选B．

点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的关系．考查了学生分析问题和解决问题的能力．