Question

对任意一个非零复数z，定义集合．
（Ⅰ）设α是方程的一个根．试用列举法表示集合M_a，若在M_a中任取两个数，求其和为零的概率P；
（Ⅱ）设复数ω∈M_z，求证：M_ω⊆M_z．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由α是方程的根，可得．当时，由，可得=． 当时，同理求得．由此求得在M_a中任取两个数，求其和为零的概率．
（Ⅱ）由ω∈M_z，可得存在m∈N，使得ω=z^2m-1．于是对任意n∈N，ω^2n-1=z^{（2m-1）（2n-1）}，由于（2m-1）（2n-1）是正奇数，ω^2n-1∈M_z，命题得证．
解答：解：（Ⅰ）∵α是方程的根，∴．…（2分）
当时，∵，
∴=．
当时，∵，
∴=．
当时，∵，∴．
因此，不论α取哪一个值，集合M_α是不变的，即．…（8分）
于是，在M_a中任取两个数，求其和为零的概率 ．…（10分）
（Ⅱ）证明：∵ω∈M_z，∴存在m∈N，使得ω=z^2m-1．…（12分）
于是对任意n∈N，ω^2n-1=z^{（2m-1）（2n-1）}，由于（2m-1）（2n-1）是正奇数，ω^2n-1∈M_z，所以M_ω⊆M_z．…（14分）
点评：本题主要考查两个复数代数形式的混合运算，等可能事件的概率求法，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．