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15.在△ABC中,已知tanB+tanC+$\sqrt{3}$tanBtanC=$\sqrt{3}$,且$\sqrt{3}$(tanA+tanB)=tanAtanB-1,求△ABC的三内角的值.

分析 把已知的两等式变形后,根据两角和的正切函数公式及诱导公式化简,分别根据A和C的范围,利用特殊角的三角函数值即可求出A和C的度数.

解答 解:∵tanB+tanC+$\sqrt{3}$tanBtanC=$\sqrt{3}$,且A+B+C=180°,
∴$\frac{tanB+tanC}{1-tanBtanC}$=$\sqrt{3}$,即tan(B+C)=-tanA=$\sqrt{3}$,
∴tanA=-$\sqrt{3}$,
∵0<A<π,∴∠A=120°,
∵$\sqrt{3}$(tanA+tanB)=tanAtanB-1,
∴$\frac{tanB+tanA}{1-tanBtanA}$=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$
即tan(B+A)=-tanC=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$,
∴tanC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$,
∵0<C<π,∴∠C=30°,
∴∠B=180°-120°-30°=30°,
即∠B=∠C=30°,∠A=120°.

点评 此题考查了三角形的解法,要到的知识有两角和与差的正切函数公式、诱导公式、特殊角的三角函数值,以及等腰三角形的判别方法,其中灵活运用公式把已知的两等式进行三角函数的恒等变形,得到A和C的度数,进而得到B的度数是解本题的关键.

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