Question

若直线2ax-by+2=0（a＞0，b＞0）被圆x²+y²+2x-4y+1=0截得的弦长为4，则

1

a

+

3

b

的最小值为

4+2

3

．

Answer 1

分析：将圆的一般方程转化为标准方程，可得圆心坐标与半径，又由题意，直线被圆截得的弦长为4，分析可得直线经过该圆的圆心，将圆心坐标代入直线方程，整理可得a+b=1；对

1

a

+

3

b

变形可得

1

a

+

3

b

=4+

b

a

+3

a

b

，结合基本不等式的性质，分析可得答案．

解答：解：圆x²+y²+2x-4y+1=0化为标准方程为（x+1）²+（y-2）²=4，
易得圆心坐标为（-1，2），半径为2；
若直线2ax-by+2=0（a＞0，b＞0）被圆截得的弦长为4，为直径的长，
则直线过圆心，即2a×（-1）-b×2-2=0，变形可得a+b=1，

1

a

+

3

b

=（

1

a

+

3

b

）×（a+b）=4+

b

a

+3

a

b

，
又由a＞0且b＞0，可得

b

a

＞0，

a

b

＞0，则（

b

a

+3

a

b

）≥2

3

，
则

1

a

+

3

b

=4+

b

a

+3

a

b

≥4+2

3

，即

1

a

+

3

b

的最小值为4+2

3

，
故答案为4+2

3

．

点评：本题考查直线与圆位置关系的判断与基本不等式的应用，关键是判断出直线2ax-by+2=0过圆心（-1，2）．