Question

执行下面框图所描述的算法程序，记输出的一列数依次为a₁，a₂，…，a_n，n∈N^*，n≤2013．
（注：框图中的赋值符号“=”也可以写成“←”或“：=”）
（1）若输入λ=

2

，直接写出输出结果；
（2）若输入λ=2，证明数列{

1

an-1

}是等差数列，并求出数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析：（1）根据程序框图循环结构图直接可以判断当λ=

2

时的输出结果，
（2）结合题干条件求证

1

an+1-1

-

1

an-1

是一个常数，即可求出数列a_n的通项公式．

解答：解：（1）输出结果是：0，

2

2

．            …（5分）
（2）由程序框图可知，a₁=0，an+1=

1

λ-an

，n∈N^*，n≤2012．…（6分）
所以，当λ=2时，an+1=

1

2-an

，…（7分）
an+1-1=

1

2-an

-1=

an-1

2-an

，而{a_n}中的任意一项均不为1，…（8分）
（否则的话，由a_n+1=1可以得到a_n=1，…，与a₁=0≠1矛盾），
所以，

1

an+1-1

=

2-an

an-1

=

1

an-1

-1，

1

an+1-1

-

1

an-1

=-1（常数），n∈N^*，n≤2012．
故{

1

an-1

}是首项为-1，公差为-1的等差数列，…（10分）
所以，

1

an-1

=-n，…（12分），
所以数列{a_n}的通项公式为an=1-

1

n

，n∈N^*，n≤2013．…（14分）

点评：本题主要考查程序框图和数列求和的知识点，解答本题的关键是看懂程序框图的运算程序，熟练掌握等差和等比数列的性质，本题把程序框图和数列的知识点结合在一起进行考查，也是一道不错的习题．