Question

已知函数f（x）=log_a（3-ax）．
（1）当x∈[0，2]时，函数f（x）恒有意义，求实数a的取值范围；
（2）是否存在这样的实数a，使得函数f（x）在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）由题设，3-ax＞0对一切x∈[0，2]恒成立，a＞0且a≠1，…（2分）
∵a＞0，∴g（x）=3-ax在[0，2]上为减函数，…（4分）
从而g（2）=3-2a＞0，
∴，
∴a的取值范围为．…（6分）
（2）假设存在这样的实数a，由题设知f（1）=1，
即log_a（3-a）=1，∴，
此时，…（10分）
当x=2时，f（x）没有意义，故这样的实数不存在．…（12分）
分析：（1）根据题意：“当x∈[0，2]时，函数f（x）恒有意义”，即要考虑到当x∈[0，2]时3-ax必须是正数，另外，题中隐含条件：a＞0且a≠1也必须注意到；
（2）假设存在这样的实数，再根据f（x）是减函数，X=1取得最大值，求出a的值，进而得出当x=2时，f（x）没有意义，即可得出结论．
点评：本小题主要考查对数函数的定义域、单调性的应用、函数单调性的性质、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力．对于是否存在问题，一般假设存在，推出结论，属于基础题．