Question

4．已知f（x）=cos²x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$，
（1）写出f（x）图象的对称中心的坐标和单调递增区间；
（2）△ABC三个内角A、B、C所对的边为a、b、c，若f（A）+1=0，b+c=2．求a的最小值．

Answer 1

分析 （1）化简得f（x）=cos（2x+$\frac{π}{3}$），令2x+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$+kπ，解出对称中心，令-π+2kπ≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ，解出单调增区间；
（2）由f（A）+1=0解出A，由b+c=2得b²+c²=（b+c）²-2bc=4-2bc，代入余弦定理得a²=4-3bc，即bc取得最大值时，a²取得最小值．

解答 解：（1）f（x）=cos²x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$cos2x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x=cos（2x+$\frac{π}{3}$），
令2x+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$+kπ，解得x=$\frac{π}{12}$+$\frac{kπ}{2}$，
∴f（x）的对称中心为：（$\frac{π}{12}$+$\frac{kπ}{2}$，0），
令-π+2kπ≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ，解得-$\frac{2π}{3}$+kπ≤x≤-$\frac{π}{6}$+kπ，
∴f（x）的单调递增区间为：[-$\frac{2π}{3}$+kπ，-$\frac{π}{6}$+kπ]，k∈Z．
（2）∵f（A）+1=0，即cos（2A+$\frac{π}{3}$）+1=0，∴cos（2A+$\frac{π}{3}$）=-1．
∵0＜A＜π，∴$\frac{π}{3}$＜2A+$\frac{π}{3}$＜$\frac{7π}{3}$，
∴2A+$\frac{π}{3}$=π，∴A=$\frac{π}{3}$．
∵b+c=2，∴b²+c²=（b+c）²-2bc=4-2bc
∴a²=b²+c²-2bc•cosA=4-3bc≥4-3（$\frac{b+c}{2}$）²=1．
当且仅当b=c=1时，a取得最小值1．

点评 本题考查了三角函数的恒等变换和性质，余弦定理得应用，是中档题．