Question

已知函数f（x）=lnx，g（x）=e^x．
（Ⅰ）求函数y=f（x）-x的单调区间；
（Ⅱ）证明：函数y=f（x）和y=g（x）在公共定义域内，g（x）-f（x）＞2；
（Ⅲ）若存在两个实数x₁，x₂且x₁≠x₂，满足f（x₁）=ax₁，f（x₂）=ax₂．求证：x₁x₂＞e²．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性

专题：计算题,证明题,函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）函数y=f（x）-x的定义域为（0，+∞），再求导y′=

1

x

-1，从而确定函数的单调区间；
（Ⅱ）先求函数y=f（x）和y=g（x）的公共定义域，从而化简g（x）-f（x）=e^x-lnx=（e^x-x）-（lnx-x），从而设m（x）=e^x-x，设n（x）=lnx-x，从而证明．
（Ⅲ）不妨设x₁＞x₂＞0，从而可得lnx₁+lnx₂=a（x₁+x₂）；从而可得a=

lnx1-lnx2

x1-x2

＞

2

x1+x2

；令h（t）=lnt-

2(t-1)

t+1

（t＞1）；从而利用导数证明．

解答： 解：（Ⅰ）函数y=f（x）-x的定义域为（0，+∞），
y′=

1

x

-1，
故当x∈（0，1）时，y′＞0，当x∈（1，+∞）时，y′＜0，
故函数y=f（x）-x的单调增区间为（0，1），单调减区间为（1，+∞）；

（Ⅱ）证明：函数y=f（x）和y=g（x）的公共定义域为（0，+∞），
g（x）-f（x）=e^x-lnx=（e^x-x）-（lnx-x），
设m（x）=e^x-x，则m′（x）=e^x-1＞0，则m（x）在（0，+∞）上单调递增，
故m（x）＞m（0）=1；
设n（x）=lnx-x，则n′（x）=

1

x

-1，当x=1时有极大值点，
n（x）≤n（1）=-1；
故g（x）-f（x）=m（x）-n（x）＞2；
故函数y=f（x）和y=g（x）在公共定义域内，g（x）-f（x）＞2．

（Ⅲ）证明：不妨设x₁＞x₂＞0，由题意得，
lnx₁=ax₁，lnx₂=ax₂；
所以lnx₁+lnx₂=a（x₁+x₂），lnx₁-lnx₂=a（x₁-x₂）；
而要证x₁x₂＞e²，
只需证明lnx₁+lnx₂＞2；
即证明a（x₁+x₂）＞2；
即证明a=

lnx1-lnx2

x1-x2

＞

2

x1+x2

；
即证明，ln

x1

x2

＞

2(x1-x2)

x1+x2

；
令

x1

x2

=t，则t＞1；
即证明lnt＞

2(t-1)

t+1

；
设h（t）=lnt-

2(t-1)

t+1

（t＞1）；
则h′（t）=

1

t

-

4

(t+1)2

=

(t-1)2

t(t+1)2

＞0，
故函数h（t）在区间（1，+∞）上是增函数，
所以h（t）＞h（1）=0，
即lnt＞

2(t-1)

t+1

；
所以不等式x₁x₂＞e²成立．

点评：本题考查了导数的综合应用及导数在求单调性与极值的应用，同时考查了构造函数证明不等式的思想，属于难题．