Question

设函数f(x)=ax+

a+1

x

 (a＞0)，g（x）=4-x，已知满足f（x）=g（x）的x有且只有一个．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）若f(x)+

m

x

＞1对一切x＞0恒成立，求m的取值范围；
（Ⅲ）若函数h（x）=k-f（x）-g（x）（k∈R）在[m，n]上的值域为[m，n]（其中n＞m＞0），求k的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）依题意有ax+

a+1

x

=4-x，利用△=0即可求得a的值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知x+

m+2

x

＞1对一切x＞0恒成立，转化为m+2＞-x²+x对一切x＞0恒成立，利用配方法求得-x²+x的最大值即可；
（Ⅲ）可求得h（x）=（k-4）-

2

x

，易知，h（x）在（0，+∞）是增函数，由方程x²-（k-4）x+2=0在（0，+∞）有两不等实根，列关系式可求得k的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）由条件知：ax+

a+1

x

=4-x，
∴（a+1）x²-4x+a+1=0有且只有一解，…（2分）
∵a＞0，
∴△=16-4（a+1）²=0，
∴a=1…（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=x+

2

x

，
∴x+

m+2

x

＞1对一切x＞0恒成立，
∴m+2＞-x²+x对一切x＞0恒成立，…（6分）
而-x²+x=-(x-

1

2

)2+

1

4

≤

1

4

，
∴m+2＞

1

4

，m＞-

7

4

…（9分）
（Ⅲ）h（x）=k-

2

x

-4=（k-4）-

2

x

，
易知，h（x）在（0，+∞）是增函数，…（10分）
∴

h(m)=k-4- 2 m =m h(n)=k-4- 2 n =n

，∴m，n是方程（k-4）-

2

x

=x的两实根，
∴方程x²-（k-4）x+2=0在（0，+∞）有两不等实根，…（12分）
令φ（x）=x²-（k-4）x+2，
则

△=(k-4)2-8＞0 k-4 2 ＞0 φ(0)=2＞0

⇒k＞4+2

2

．
即k的取值范围是（4+2

2

，+∞）…（15分）

点评：本题考查函数恒成立问题，考查二次函数在闭区间上的最值，考查二次函数有唯一解中判别式的应用，突出转化思想与方程思想的综合运用，属于难题．