Question

（1）已知a_n是等差数列，其中a₁=31，公差d=-8，则数列a_n前n项和的最大值为

 

．
（2）已知a_n是各项不为零的等差数列，其中a₁＞0，公差d＜0，若S₁₀=0，求数列a_n前

 

项和取得最大值．

Answer 1

分析：（1）根据数列的首项和公差写出数列的前n项和，它是关于n的二次函数，二次项的系数小于零，函数存在最大值，结合二次函数的最值得到结果，注意变量n的取值．
（2）结合二次函数的图象，得到二次函数图象的开口向下，根据图象关于对称轴对称的特点，得到函数在对称轴处取到最大值，，注意对称轴对应的自变量应该是整数或离对称轴最近的整数．

解答：解：（1）∵a_n是等差数列，其中a₁=31，公差d=-8，
∴数列a_n前n项和s_n=-4n²+35n，
根据二次函数的性质，当n=

35

8

时，前n项和s_n取到最大值，
∵n∈N，
∴n=4，
∴前n项和s_n的最大值是s_n=-64+140=76，
（2）a_n是各项不为零的等差数列，
其中a₁＞0，公差d＜0，S₁₀=0，
根据二次函数的图象特点得到图象开口向下，且在n=

0+10

2

=5时，
数列a_n前5项和取得最大值．

点评：数列中数的有序性是数列定义的灵魂，要注意辨析数列中的项与数集中元素的异同，因此在研究数列问题时既要注意函数方法的普遍性，又要注意数列方法的特殊性．