Question

已知m，n是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面．给出以下四个命题：
①若m?α，n?α，m∥β，n∥β，则α∥β；
②若m⊥α，n⊥β，m∥n，则α∥β；
③若α⊥β，m?α，n?β，则m⊥n；
④若m，n是异面直线，m?α，m∥β，n?β，n∥α，则α∥β
其中真命题的个数为________．

Answer 1

2
分析：根据空间两个平面平行的判定定理，可得①是假命题，而④是真命题．根据空间的平行线与同一个平面垂直，垂直于同一直线的两个平面平行，得②是真命题，通过举出反例说明，得到③是假命题．
解答：对于①，两个平面平行的判定定理：若m?α，n?α且m、n是相交直线，m∥β，n∥β，则α∥β．
但①中缺少了“m、n是相交直线”这一条，故①不正确；
对于②，m⊥α，m∥n，可得n⊥α，结合n⊥β，可得α∥β．故②是真命题；
对于③，若α⊥β，且α∩β=a，分别在α、β内的直线m、n都与a平行，则不可能有m⊥n，故③不正确；
对于④，可在平面α、β外找一点O，过O分别作m'∥m，n'∥n，则
因为m，n是异面直线，由m'、n'确定平面γ，由两个平面平行的判定定理不难得到α、β都与γ平行
所以有“α∥β”成立，故④是真命题．
综上所述，正确的命题有②④，两个
故答案为：2
点评：本题给出空间线面位置关系的几个命题，要我们找出真命题．着重考查了空间直线与平面平行或垂直，平面与平面平行的判定等知识，属于基础题．