Question

（2006•松江区模拟）已知复数z=a2-a-6+

a2+2a-15

a2-4

i，
（1）当a∈（-2，2）时，求|z-

a2+2a-15

a2-4

i|的取值范围；
（2）（理）是否存在实数a，使得z²＜0，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．
（文）是否存在实数a，使得z=-

.

z

，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）由题意知|z-

a2+2a-15

a2-4

i|=|a2-a-6|，当a∈（-2，2）时，可得a²-a-6＜0，去掉绝对值号后配方求取值范围
（2）理：由题设条件，若存在z²＜0，则必有复数实部为0，虚部不为0，由此关系得到a的满足的不等式组，解a的可能取值，若解出值，说明存在，否则不存在；
文：由题设，若 存在实数a，使得z=-

.

z

，则必有实部为0，由此得a²-a-6=0，解此方程若有符合条件的解，则说明存在，否则不存在

解答：解：（1）∵a∈（-2，2），
∴|z-

a2+2a-15

a2-4

i|=|a2-a-6|=-a2+a+6=-(a-

1

2

)2+

25

4

∈(0，

25

4

]．
（2）（理）∵z²＜0，
∴z为纯虚数，
∴

a2-a-6=(a-3)(a+2)=0 a2+2a-15 a2-4 = (a-3)(a+5) (a-2)(a+2) ≠0

⇒a∈Φ
（文）∵z=-

.

z

，
∴Rez=0，
∴a²-a-6=0⇒a=3或a=-2（舍去）
存在a=3满足题意．

点评：本题考查复数代数形式的混合运算，复数的基本概念，解题的关键是理解题意及复数的基本概念，将题设中条件正确转化，本题考查了判断推理的能力及转化的思想，方程的思想，是复数中综合性较强的题．