分析 (1)由于${a_1}=1,二次函数f(x)=\frac{1}{2}{a_n}{x^2}+({2^{-n}}-{a_{n+1}})x$的对称轴为$x=\frac{1}{2}$.可得an≠0,$-\frac{{2}^{-n}-{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{2}$,化简整理即可证明.
(2)由(1)可得:an=$\frac{n}{{2}^{n-1}}$.利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出.
解答 (1)证明:∵${a_1}=1,二次函数f(x)=\frac{1}{2}{a_n}{x^2}+({2^{-n}}-{a_{n+1}})x$的对称轴为$x=\frac{1}{2}$.
∴an≠0,$-\frac{{2}^{-n}-{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{2}$,化为:2n+1an+1-2nan=2,
∴{2n•an}是等差数列,首项为2,公差为2.
∴2nan=2+2(n-1)=2n.
(2)解:由(1)可得:an=$\frac{n}{{2}^{n-1}}$.
∴Sn=1+$\frac{2}{2}$+$\frac{3}{{2}^{2}}$+…+$\frac{n}{{2}^{n-1}}$,
$\frac{1}{2}{S}_{n}$=$\frac{1}{2}+\frac{2}{{2}^{2}}$+…+$\frac{n-1}{{2}^{n-1}}$+$\frac{n}{{2}^{n}}$,
∴$\frac{1}{2}{S}_{n}$=1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n-1}}$-$\frac{n}{{2}^{n}}$=$\frac{1-\frac{1}{{2}^{n}}}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{n}{{2}^{n}}$=2-$\frac{2+n}{{2}^{n}}$,
∴Sn=4-$\frac{2+n}{{2}^{n-1}}$.
点评 本题考查了“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
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科目:高中数学 来源: 题型:填空题
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