Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的两个焦点和短轴的两个端点都在圆x²+y²=1上．
（I）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若斜率为k的直线过点M（2，0），且与椭圆C相交于A，B两点．试探讨k为何值时，三角形OAB为直角三角形．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题意可知b和c，利用隐含条件求出a，则椭圆方程可求；
（Ⅱ）设出直线AB的方程，联立直线方程和椭圆方程，由判别式大于0求出k的范围，利用根与系数关系得到A与B的横坐标的和与积，讨论O与A（或B）为直角顶点两种情况，O为直角顶点时，直接由

OA

•

OB

=0列式求解k的值，若A（或B）为直角顶点时，由斜率之积等于-1求出OA的斜率，由两直线联立解出A点（或B）点坐标，代入椭圆方程求得k的值．

解答：解：（Ⅰ）因为焦点与短轴的端点都在圆x²+y²=1上，
∴c=1，b=1，
∴a²=b²+c²=1+1=2．
则椭圆方程为：

x2

2

+y2=1；
（Ⅱ）由已知直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y=k（x-2）．
联立

y=k(x-2) x2 2 +y2=1

，得（1+k²）x²-8k²x+8k²-2=0．
由△=64k⁴-4（1+k²）（8k²-2）＞0，得k2＜

1

2

．
所以k∈(-

2

2

，

2

2

)．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
则x1+x2=

8k2

1+k2

，x1x2=

8k2-2

1+k2

．
若O为直角顶点，则

OA

•

OB

=0，即x₁x₂+y₁y₂=0．
y₁y₂=k（x₁-2）k（x₂-2）．
所以上式可整理得：

8k2-2

1+2k2

+

4k2

1+2k2

=0．
解得k=±

5

5

．满足k∈(-

2

2

，

2

2

)．
若A或B为直角顶点，不妨设A为直角顶点，
kOA=-

1

k

，则A满足

y=- 1 k x y=k(x-2)

，解得

x= 2k2 k2+1 y=- 2k k2+1

代入椭圆方程得k⁴+2k²-1=0．
解得k=±

2 -1

．满足k∈(-

2

2

，

2

2

)．
综上，k=±

5

5

或k=±

2 -1

时三角形OAB为直角三角形．

点评：本题考查了椭圆的标准方程，考查了直线和圆锥曲线的关系，考查了分类讨论的数学思想方法哈数学转化思想方法，训练了平面向量在解题中的应用，考查了学生的计算能力，是难题．