Question

20．已知x≥$\frac{3}{2}$，则$\frac{{2{x^2}-2x+1}}{x-1}$的最小值为2$\sqrt{2}$+2．

Answer 1

分析 先把$\frac{{2{x^2}-2x+1}}{x-1}$变形为2（x-1）+$\frac{1}{x-1}$+2，然后利用基本不等式进行计算即可．

解答 解：$\frac{{2{x^2}-2x+1}}{x-1}$=$\frac{2x（x-1）+1}{x-1}$=2（x-1）+$\frac{1}{x-1}$+2≥2$\sqrt{2（x-1）×\frac{1}{x-1}}$+2=$2\sqrt{2}+2$．
当且仅当2（x-1）=$\frac{1}{x-1}$即x=$\frac{\sqrt{2}+2}{2}$时取“=”．
∵x=$\frac{\sqrt{2}+2}{2}$≥$\frac{3}{2}$，
∴x=$\frac{\sqrt{2}+2}{2}$符合题意，即$\frac{{2{x^2}-2x+1}}{x-1}$的最小值为$2\sqrt{2}+2$；
故答案是：$2\sqrt{2}+2$．

点评 本题考查了基本不等式．将$\frac{{2{x^2}-2x+1}}{x-1}$变形为2（x-1）+$\frac{1}{x-1}$+2是解题的难点．