Question

求与直线y=x相切，圆心在直线y=3x上且被y轴截得的弦长为的圆的方程．

Answer 1

解：由题意可得：设圆心O₁的坐标为（ x₀，3x₀），半径为r（r＞0），
因为圆与直线y=x相切，
所以（5分），即r=|x₀|
又因为圆被y轴截得的弦，
所以+x₀²=r²
∴2+x₀²=2 x₀²
∴解得x₀=，
∴r=2
即圆的方程为：或．
分析：根据题意设出圆心O₁的坐标为（ x₀，3x₀），半径为r，结合相切的条件可得r=|x₀|，又根据圆被y轴截得的弦，即可构成直角三角形进而求出x₀，得到圆的方程．
点评：此题考查了圆的标准方程，以及直线与圆的位置关系，确定出圆心坐标和圆的半径是写出圆标准方程的前提，熟练掌握直线与圆的位置关系相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径是解第二问的关键．