Question

【题目】如图1，梯形中， 为中点.将沿翻折到的位置，如图2.

（Ⅰ）求证：平面平面；

（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；

（Ⅲ）设分别为和的中点，试比较三棱锥和三棱锥（图中未画出）的体积大小，并说明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ） ；（Ⅲ）体积相等.

【解析】试题分析：（Ⅰ）由题意，利用线面垂直的判定定理，证得平面，再利用面面垂直的判定定理，即可证得，所以平面 平面.

（Ⅱ）根据题设中的垂直关系，建立空间直角坐标系，求出平面和平面的各自一个法向量，利用向量所成的角，即可求解线面角的正弦值.

（Ⅲ）方法一：先证得平面，可得点到平面的距离相等，即可得到三棱锥和同底等高，所以体积相等；

方法二：取中点，连接， ， ，分别得到， ，进而证得平面，即可点、到平面的距离相等，所以三棱锥和同底等高，所以体积相等；

试题解析：

（Ⅰ）证明：因为， ， ， ， 平面

所以平面因为平面，所以平面 平面

（Ⅱ）解：在平面内作，

由平面，建系如图.

则， ， ， ， . ， ， ，

设平面的法向量为，则

，即，令得， ，

所以是平面的一个方向量.

所以与平面所成角的正弦值为.

（Ⅲ）解：三棱锥和三棱锥的体积相等.

理由如:

方法一：由， ，知，则

因为平面，所以平面.

故点、到平面的距离相等，有三棱锥和同底等高，所以体积相等.

方法二：如图，取中点，连接， ， .

因为在中， ， 分别是， 的中点，所以

因为在正方形中， ， 分别是， 的中点，所以

因为， ， 平面， ， 平面

所以平面 平面

因为平面，所以平面

故点、到平面的距离相等，有三棱锥和同底等高，所以体积相等.