Question

已知函数f（x）=x+

a

x

的图象过点（1，2）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求证：f（x）在x∈[1，+∞）上是增函数．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明,函数解析式的求解及常用方法

专题：函数的性质及应用

分析：（1）利用待定系数法直接将（1，2）代入函数表达式从而求出a的值；（2）通过求导得到f′（x）在[1，+∞）为负值，从而证得结论．

解答： 解：（1）将（1，2）代入函数的表达式得：2=1+a，解得：a=1，
∴f（x）=x+

1

x

；
（2）∵f′（x）=1-

1

x

=

x-1

x

，
当x≥1时，f′（x）≥0，
∴函数f（x）在[1，+∞）递增．

点评：本题考查了求函数的解析式问题，考查了函数的单调性问题，是一道基础题．