【题目】已知q和n均为给定的大于1的自然数,设集合M={0,1,2,…,q-1},集合A={x|x=x1+x2q+…+xnqn-1,xi∈M,i=1,2,…,n}.
(1)当q=2,n=3时,用列举法表示集合A.
(2)设s,t∈A,s=a1+a2q+…+anqn-1,t=b1+b2q+…+bnqn-1,其中ai,bi∈M,i=1,2,…,n.证明:若an<bn,则s<t.
【答案】(1)A={0,1,2,3,4,5,6,7};(2)见解析.
【解析】试题分析:(Ⅰ)当q=2,n=3时,M={0,1},A={x|x=x1+x22+x322,xi∈M,i=1,2,3}.即可得到集合A;
(Ⅱ)由于ai,bi∈M,i=1,2,…,n.an<bn,可得an-bn≤-1.由题意可得s-t=(a1-b1)+(a2-b2)q+…+(an-1-bn-1)qn-2+(an-bn)qn-1≤-[1+q+…+qn-2+qn-1],再利用等比数列的前n项和公式即可得出.
试题解析:
(1)当q=2,n=3时,M={0,1},A={x|x=x1+x2·2+x3·22,xi∈M,i=1,2,3},可得A={0,1,2,3,4,5,6,7}.
(2)证明:由s,t∈A,s=a1+a2q+…+anqn-1,t=b1+b2q+…+bnqn-1,ai,bi∈M,i=1,2,…,n及an<bn,可得
s-t=(a1-b1)+(a2-b2)q+…+(an-1-bn-1)qn-2+(an-bn)qn-1
≤(q-1)+(q-1)q+…+(q-1)q n-2-qn-1
=-qn-1
=-1<0,
所以s<t.
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【题目】设直线l的参数方程为 (t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ.
(1)把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程;
(2)设直线l与曲线C交于M,N两点,点A(1,0),求 + 的值.
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【题目】函数的定义域为D,若存在闭区间 ,使得函数同时满足:
(1)在内是单调函数;
(2)在上的值域为,则称区间为的“倍值区间”.
下列函数中存在“3倍值区间”的有_____.
①;②;③;④.
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【题目】已知圆 : 上的点 关于点 的对称点为 ,记 的轨迹为 .
(1)求 的轨迹方程;
(2)设过点 的直线 与 交于 , 两点,试问:是否存在直线 ,使以 为直径的圆经过原点?若存在,求出直线 的方程;若不存在,请说明理由.
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【题目】在平面直角坐标系中,已知直线.
(1)若直线在轴上的截距为-2,求实数的值,并写出直线的截距式方程;
(2)若过点且平行于直线的直线的方程为: ,求实数的值,并求出两条平行直线之间的距离.
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【题目】近年来,随着我市经济的快速发展,政府对民生也越来越关注. 市区现有一块近似正三角形土地ABC(如图所示),其边长为2百米,为了满足市民的休闲需求,市政府拟在三个顶点处分别修建扇形广场,即扇形DBE,DAG和ECF,其中、与分别相切于点D、E,且与无重叠,剩余部分(阴影部分)种植草坪. 设BD长为x(单位:百米),草坪面积为S(单位:百米2).
(1)试用x分别表示扇形DAG和DBE的面积,并写出x的取值范围;
(2)当x为何值时,草坪面积最大?并求出最大面积.
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【题目】已知函数为奇函数.
(1)求常数的值;
(2)设,证明函数在(1,+∞)上是减函数;
(3)若函数,且在区间[3,4]上没有零点,求实数的取值范围.
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【题目】已知圆A:(x+1)2+y2=8,动圆M经过点B(1,0),且与圆A相切,O为坐标原点.
(Ⅰ)求动圆圆心M的轨迹C的方程;
(Ⅱ)直线l与曲线C相切于点M,且l与x轴、y轴分别交于P、Q两点,若 =λ ,且λ∈[ ,2],求△OPQ面积S的取值范围.
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