Question

3．一元二次不等式0≤ax²+c≤3的解集为[d，d+1]∪[d+3，d+4]，则实数a的值为±1．

Answer 1

分析 把不等式0≤ax²+c≤3化为$\left\{\begin{array}{l}{{ax}^{2}+c≥0}\\{{ax}^{2}+c≤3}\end{array}\right.$，讨论a＞0和a＜0时，不等式对应的方程实数根的情况，求出d和a的值即可．

解答 解：一元二次不等式0≤ax²+c≤3可化为
$\left\{\begin{array}{l}{{ax}^{2}+c≥0}\\{{ax}^{2}+c≤3}\end{array}\right.$，
当a＞0时，方程ax²+c=0的两个实数根为d+1和d+3，
且（d+1）+（d+3）=0，
解得d=-2，∴a=-c；
∴方程ax²+c=3可化为ax²-a=3，
即x²=$\frac{3+a}{a}$，且它的两个实数根为d和d+4，
即-2和2，
解得a=1；
同理，当a＜0时，方程ax²+c=0的两个实数根为d和d+4，
且d+（d+4）=0，
解得d=-2，∴c=-4a；
∴方程ax²+c=3可化为ax²-4a=3，
即x²=$\frac{3+4a}{a}$，且它的两个实数根为d+1和d+3，
即-1和1，
解得a=-1；
综上，实数a的值为±1．
故答案为：±1．

点评 本题考查了一元二次不等式组与对应方程解的情况，也考查了分类讨论思想的应用问题，是综合性题目．