Question

定义向量的运算

a

?

b

=|

a

|•|

b

|•sin＜

a

，

b

＞（其中＜

a

，

b

＞为向量

a

，

b

的夹角），设

OA

，

OB

为非零向量，则下列说法正确的是

①②④

．
①

OA

?

OB

是非负实数；
②若向量

OA

，

OB

共线，则有

OA

?

OB

=0；
③若向量

OA

，

OB

垂直，则有

OA

?

OB

=0；
④若O，A，B能构成三角形，则三角形面积S_OAB=

1

2

OA

?

OB

．

Answer 1

分析：根据向量夹角的范围与

OA

?

OB

的定义，结合正弦函数在[0，π]非负可得①正确；根据向量共线的含义得当向量

OA

，

OB

共线时sin＜

OA

，

OB

＞=0，故

OA

?

OB

=0，得②正确；若向量

OA

，

OB

垂直，则sin＜

OA

，

OB

＞=sin90°=1，得到

OA

?

OB

≥0，故③不正确；根据三角形的面积公式与

OA

?

OB

的定义，可得④正确．

解答：解：∵＜

OA

，

OB

＞为向量

OA

、

OB

的夹角，
∴＜

OA

，

OB

＞∈[0°，180°]，可得sin＜

OA

，

OB

＞≥0，
又∵|

OA

|≥0且|

OB

|≥0，∴

OA

?

OB

是非负实数，可得①正确；
∵若向量

OA

，

OB

共线，则＜

OA

，

OB

＞=0°或180°，可得sin＜

OA

，

OB

＞=0，
∴向量

OA

，

OB

共线时，

OA

?

OB

=0，可得②正确；
∵若向量

OA

，

OB

垂直，则＜

OA

，

OB

＞=90°，可得sin＜

OA

，

OB

＞=1，
∴向量

OA

，

OB

垂直时，

OA

?

OB

=|

OA

|•|

OB

|sin＜

OA

，

OB

＞=|

OA

|•|

OB

|，
由|

OA

|≥0且|

OB

|≥0得

OA

?

OB

=0不一定成立，故③不正确；
∵△OAB的面积S_△OAB=

1

2

|

OA

|•|

OB

|sin∠AOB，
∴由

OA

?

OB

=|

OA

|•|

OB

|sin＜

OA

，

OB

＞，可得S_△0AB=

1

2

OA

?

OB

．故④正确．
综上所述，正确的命题是①②④．
故答案为：①②④

点评：本题给出

a

?

b

的定义，判断几个命题的真假．着重考查了向量的数量积及其运算性质、向量的夹角范围和三角形的面积公式等知识，属于中档题．