Question

已知函数f（x）=x-

1

x

，g（x）=lnx．
（1）求函数f（x）在点（1，0）处的切线y=h（x）；
（2）在（1）的条件下，证明：对任意的x∈（0，+∞），h（x）-g（x）≥

1

2

f（x）恒成立；
（3）若对于任意的x₁＞x₂＞0，f（x₁）-f（x₂）＞m[g（x₁）-g（x₂）]都成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数研究函数的单调性

专题：计算题,证明题,函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：（1）求导f′（x）=1+

1

x2

从而求斜率为f′（1）=1+1=2；从而得到切线方程；
（2）令F（x）=h（x）-g（x）-

1

2

f（x）=2（x-1）-lnx-

1

2

（x-

1

x

），求导F′（x）=

(3x+1)(x-1)

2x2

，从而化恒成立问题为最值问题．
（3）对于任意的x₁＞x₂＞0，f（x₁）-f（x₂）＞m[g（x₁）-g（x₂）]都成立可化为

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞m

g(x1)-g(x2)

x1-x2

；即f′（x）＞mg′（x），从而解得．

解答： 解：（1）f′（x）=1+

1

x2

，则f′（1）=1+1=2；
故函数f（x）在点（1，0）处的切线y=h（x）=2（x-1）；
（2）证明：令F（x）=h（x）-g（x）-

1

2

f（x）
=2（x-1）-lnx-

1

2

（x-

1

x

），
F′（x）=

(3x+1)(x-1)

2x2

，
故F（x）在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数，
且F（1）=2（1-1）-ln1-

1

2

（1-1）=0，
故F（x）≥0，
故对任意的x∈（0，+∞），h（x）-g（x）≥

1

2

f（x）恒成立；
（3）对于任意的x₁＞x₂＞0，f（x₁）-f（x₂）＞m[g（x₁）-g（x₂）]都成立可化为

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞m

g(x1)-g(x2)

x1-x2

；
即f′（x）＞mg′（x），
即1+

1

x2

＞m

1

x

；
∴m＜x+

1

x

；
∵（x+

1

x

）_min=2，
（当且仅当x=1时，等号成立）
故m＜2．

点评：本题考查了导数的综合应用及恒成立问题，同时考查了转化的思想应用，属于难题．