Question

16．已知函数f（x）=$\frac{x+a}{x+b}$，a＞b＞0，判断f（x）在（-b，+∞）上的单调性，并证明．

Answer 1

分析 先分离常数得到$f（x）=1+\frac{a-b}{x+b}$，从而可判断f（x）在（-b，+∞）上单调递减，根据减函数的定义，设任意的x₁，x₂∈（-b，+∞），且x₁＜x₂，然后作差，通分，证明f（x₁）＞f（x₂），这样便可得出f（x）在（-b，+∞）上单调递增．

解答 解：$f（x）=\frac{x+b+a-b}{x+b}=1+\frac{a-b}{x+b}$；
函数f（x）在（-b，+∞）上单调递减，证明如下：
设x₁，x₂∈（-b，+∞），且x₁＜x₂，则：
$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）=\frac{a-b}{{x}_{1}+b}-\frac{a-b}{{x}_{2}+b}$=$\frac{（a-b）（{x}_{2}-{x}_{1}）}{（{x}_{1}+b）（{x}_{2}+b）}$；
∵-b＜x₁＜x₂，a＞b；
∴x₂-x₁＞0，x₁+b＞0，x₂+b＞0，a-b＞0；
∴f（x₁）＞f（x₂）；
∴f（x）在（-b，+∞）上是单调减函数．

点评 考查分离常数法的运用，减函数的定义，反比例函数的单调性，以及根据减函数的定义判断和证明一个函数为减函数的方法和过程，作差的方法比较f（x₁），f（x₂），作差后是分式的一般要通分．