Question

如图所示，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=AD=1，AB=，O为对角线A₁C的中点．

第19题图

(1)求点O到AB的距离；

(2)P为AB上一动点，当P在何处时，平面POD上平面A₁CD?并证明你的结论；

(3)当平面POD⊥平面A₁CD时，求二面角P-A₁D-C的大小．

Answer 1

答案：(1)如图所示，取AC的中点O₁，连接OO₁，则OO₁∥A₁A，∴OO₁⊥平面ABCD，取AB中点E，连接O₁E，则O₁E⊥AB，连接OE，则OE⊥AB，

第19题图

OO₁=AA₁=，O₁E=AD=

点O到AB的距离为OE=．

(2)当P在AB的中点时，则A₁P=CP=，

∴OP⊥A₁C

又OP⊥AB，DC∥AB，∴OP⊥DC

∴平面POD⊥平面A₁CD．

(3)取A₁D的中点F，连接OF，则OF∥CD

∴OF⊥A₁D，

连接FP，由(2)知OP⊥平面A₁CD

∴∠OFP为二面角P-A₁D-C的平面角

OP=OE=，OF=CD=，∴∠OFP=45°。

∴二面角P-A₁D-C的大小为45°．