Question

已知A，B是椭圆和双曲线的公共顶点．P是双曲线上的动点，M是椭圆上的动点（P、M都异于A、B），且满足，其中λ∈R，设直线AP、BP、AM、BM的斜率分别记为k₁，k₂，k₃，k₄，k₁+k₂=5，则k₃+k₄=________．

Answer 1

-5
分析：设出点P、M的坐标，代入双曲线和椭圆的方程，再利用已知满足及其斜率的计算公式即可求出．
解答：∵A，B是椭圆和双曲线的公共顶点，∴（不妨设）A（-a，0），B（a，0）．
设P（x₁，y₁），M（x₂，y₂），∵，其中λ∈R，∴（x₁+a，y₁）+（x₁-a，y₁）=λ[（x₂+a，y₂）+（x₂-a，y₂）]，化为x₁y₂=x₂y₁．
∵P、M都异于A、B，∴y₁≠0，y₂≠0．∴．
由k₁+k₂==5，化为，（*）
又∵，∴，代入（*）化为．
k₃+k₄==，又，
∴，
∴k₃+k₄===-5．
故答案为-5．
点评：熟练掌握点在曲线上的意义、双曲线和椭圆的方程、向量的运算性质、斜率的计算公式是解题的关键，同时本题需要较强的计算能力．