Question

已知函数f（x）=lnx+

1

x

+ax，x∈（0，+∞）（a是实数），g（x）=

2x

x2+1

+1．
（1）若函数f（x）在[1，+∞）上是单调函数，求a的取值范围；
（2）是否存在正实数a满足：对于任意x₁∈[1，2]，总存在x₂∈[1，2]，使得f（x₁）=g（x₂）成立，若存在，求出a的范围；若不存在，请说明理由；
（3）若数列{x_n}满足x₁=

1

2

，x_n+1=g（x_n）-1，求证：

(x1-x2)2

x1x2

+

(x2-x3)2

x2x3

+…+

(xn-xn+1)2

xnxn+1

＜

5

16

．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：（1）先求导，再分类讨论，当a≥0时，当a＜0时，分离参数，构造函数，利用导数求出函数的最值，问题得以解决；
（2）根据函数的单调性，求出函数f（x₁）的值域，在根据导数求出g（x₂）的值域，根据条件继而求出a的范围；
（3）先求出x_n的范围，再利用基本不等式求出x_n+1-x_n＜

2 +1

8

，利用裂项求和法，以及放缩法证明即可．

解答： 解：（1）∵f（x）=lnx+

1

x

+ax，x∈（0，+∞），
∴f′（x）=

1

x

-

1

x2

+a，
当a≥0时，′（x）=

1

x

-

1

x2

+a≥0恒成立，
∴f（x）在[1，+∞）上是单调函数
当a＜0时，
∴f′（x）≥0，或f′（x）≤0恒成立，
∴

1

x

-

1

x2

+a≥0，

1

x

-

1

x2

+a≤0，
即a≥-

1

x

+

1

x2

，或a≤-

1

x

+

1

x2

，
设F（x）=-

1

x

+

1

x2

，
∴F′（x）=

1

x2

-

2

x3

=

x-2

x3

，
令F′（x）=0，解得x=2，
当F′（x）＞0即x＞2时，函数递增，
当F′（x）＜0即0＜x＜2时，函数递减，
当x=2是函数函数有最小值，即F（x）_min=F（2）=-

1

4

，
函数无最大值，
故a≤-

1

4

，
综上所述a的取值范围为（-∞，-

1

4

]∪[0，+∞）
（2）不满足条件的正实数a，
因为由（1）知，a＞0时，f（x）在[1，+∞）上是单调函数，
所以f（x₁）∈[1+a，ln2+

1

2

+2a]，
g′（x）=

2(1-x2)

(1+x2)2

，当x∈[1，2]时，g′（x）≤0，
所以g（x）在[1，2]上是单调减函数，
所以当x₂∈[1，2]时，g（x₂）∈[

9

5

，2]，
若对于任意x₁∈[1，2]时，总存在x₂∈[1，2]时，使f（x₁）=f（x₂）成立，
则[1+a，ln2+

1

2

+2a]∈[

9

5

，2]，此时无解
（3）因为x_n+1=g（x_n）-1=

2xn

xn2+1

，所以x₁＞0时，0＜x_n+1≤1，n∈N*，当且仅当x_n=1时取等号，
若x_n=1，则x₁=1，这与已知相矛盾，所以0＜x_n＜1，
x_n+1-x_n=x_n（1-x_n）

1+xn

xn2+1

≤

1

4

•

1

xn+1+ 2 xn+1 -2

≤

1

4

•

1

2 2 -2

=

2 +1

8

，（两个等号不能同时成立），
所以

(xn-xn+1)2

xnxn+1

＜

2 +1

8

（

1

xn

-

1

xn+1

），
所以：

(x1-x2)2

x1x2

+

(x2-x3)2

x2x3

+…+

(xn-xn+1)2

xnxn+1

＜

2 +1

8

[（

1

x1

-

1

x2

）+（

1

x2

-

1

x3

）+…+（

1

xn

-

1

xn+1

）]=

2 +1

8

（

1

x1

-

1

xn+1

）
又x_n+1-x_n=x_n（1-x_n）

1+xn

xn2+1

＞0，
所以x_n+1＞x_n，
所以

1

2

≤x_n＜1，
又x₁=

1

2

，
所以

(x1-x2)2

x1x2

+

(x2-x3)2

x2x3

+…+

(xn-xn+1)2

xnxn+1

＜

2 +1

8

（2-1）＜

3 2 +1

8

=

5

16

．

点评：本题考查了导数和函数的单调性最值的关系，以及基本不等式的性质，裂项求和，放缩法，培养可学生的运算能力，转化能力，处理解决问题的能力，属于难题