Question

【题目】已知函数f（x）=sin（3x+ ）．
（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）若α是第二象限角，f（ ）= cos（α+ ）cos2α，求cosα﹣sinα的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵函数f（x）=sin（3x+ ），令 2kπ﹣ ≤3x+ ≤2kπ+ ，k∈Z，

求得 ﹣ ≤x≤ + ，故函数的增区间为[ ﹣ ， + ]，k∈Z

（2）解：由函数的解析式可得 f（ ）=sin（α+ ），又f（ ）= cos（α+ ）cos2α，

∴sin（α+ ）= cos（α+ ）cos2α，即sin（α+ ）= cos（α+ ）（cos2α﹣sin2α），

∴sinαcos +cosαsin = （cosαcos ﹣sinαsin ）（cosα﹣sinα）（cosα+sinα）

即 （sinα+cosα）= （cosα﹣sinα）2（cosα+sinα），

又∵α是第二象限角，∴cosα﹣sinα＜0，

当sinα+cosα=0时，tanα=﹣1，sinα= ，cosα=﹣ ，此时cosα﹣sinα=﹣ ．

当sinα+cosα≠0时，此时cosα﹣sinα=﹣ ．

综上所述：cosα﹣sinα=﹣ 或﹣ ．

【解析】（1）令 2kπ﹣ ≤3x+ ≤2kπ+ ，k∈z，求得x的范围，可得函数的增区间．（2）由函数的解析式可得 f（ ）=sin（α+ ），又f（ ）= cos（α+ ）cos2α，可得sin（α+ ）= cos（α+ ）cos2α，化简可得 （cosα﹣sinα）2= ．再由α是第二象限角，cosα﹣sinα＜0，从而求得cosα﹣sinα 的值．
【考点精析】通过灵活运用两角和与差的余弦公式和正弦函数的单调性，掌握两角和与差的余弦公式：；正弦函数的单调性：在上是增函数；在上是减函数即可以解答此题．