Question

已知函数f（x）=2

3

sinxcosx+2sin²x+3．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（Ⅱ）若f（

α

2

）=

26

5

，求sin（2α+

π

6

）的值；
（Ⅲ）当x∈[-

π

2

，0]时，若f（x）≥log₂t恒成立，求t的取值范围．

Answer 1

考点：正弦函数的单调性,两角和与差的正弦函数,二倍角的余弦,三角函数的周期性及其求法

专题：三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）将函数f（x）进行化简，即可求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（Ⅱ）若f（

α

2

）=

26

5

，求出sin（α-

π

6

）=

3

5

；然后利用三角函数的关系式即可求sin（2α+

π

6

）的值；
（Ⅲ）求出函数f（x）的最值，即可得到结论．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=2

3

sinxcosx+2sin²x+3=2sin（2x-

π

6

）+4，
∴函数f（x）的最小正周期T=π，
由2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

，即kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

3

，
即函数的单调递增区间是[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

]；
（Ⅱ）若f（

α

2

）=

26

5

，得sin（α-

π

6

）=

3

5

；
sin（2α+

π

6

）=cos[（2α+

π

6

）-

π

2

]=cos（2α-

π

3

）=1-2sin²（α-

π

6

）=1-2（

3

5

） 2=

7

25

．
（Ⅲ）当x∈[-

π

2

，0]时，-

7π

6

≤2x-

π

6

≤-

π

6

，
则f（x）=2sin（2x-

π

6

）+4的最小值为2，
若f（x）≥log₂t恒成立，
log₂t≤2，即0＜t≤4，
则t的取值范围是（0，4]．

点评：本题主要考查三角函数的图象和性质，考查学生的运算能力．