精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
已知函数f(x)=2
3
sinxcosx+2sin2x+3.
(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间;
(Ⅱ)若f(
α
2
)=
26
5
,求sin(2α+
π
6
)的值;
(Ⅲ)当x∈[-
π
2
,0]时,若f(x)≥log2t恒成立,求t的取值范围.
考点:正弦函数的单调性,两角和与差的正弦函数,二倍角的余弦,三角函数的周期性及其求法
专题:三角函数的图像与性质
分析:(Ⅰ)将函数f(x)进行化简,即可求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间;
(Ⅱ)若f(
α
2
)=
26
5
,求出sin(α-
π
6
)=
3
5
;然后利用三角函数的关系式即可求sin(2α+
π
6
)的值;
(Ⅲ)求出函数f(x)的最值,即可得到结论.
解答: 解:(Ⅰ)∵f(x)=2
3
sinxcosx+2sin2x+3=2sin(2x-
π
6
)+4,
∴函数f(x)的最小正周期T=π,
由2kπ-
π
2
≤2x-
π
6
≤2kπ+
π
2
,即kπ-
π
6
≤x≤kπ+
π
3

即函数的单调递增区间是[kπ-
π
6
,kπ+
π
3
];
(Ⅱ)若f(
α
2
)=
26
5
,得sin(α-
π
6
)=
3
5

sin(2α+
π
6
)=cos[(2α+
π
6
)-
π
2
]=cos(2α-
π
3
)=1-2sin2(α-
π
6
)=1-2(
3
5
 2=
7
25

(Ⅲ)当x∈[-
π
2
,0]时,-
6
≤2x-
π
6
-
π
6

则f(x)=2sin(2x-
π
6
)+4的最小值为2,
若f(x)≥log2t恒成立,
log2t≤2,即0<t≤4,
则t的取值范围是(0,4].
点评:本题主要考查三角函数的图象和性质,考查学生的运算能力.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

若log23=m,用含m的式子表示log281,则log281=
 

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

已知椭圆C的标准方程为:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0),该椭圆经过点P(1,
3
2
),且离心率为
1
2

(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)过椭圆:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)长轴上任意一点S(s,0),(-a<s<a)作两条互相垂直的弦AB、CD.若弦AB、CD的中点分别为M、N,证明:直线MN恒过定点.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

已知关于x的实系数一元二次方程2x2-4(m-1)x+m2+1=0.
(1)若方程的两根为x1、x2,且|x1|+|x2|=2,求m的值;
(2)若方程有虚根z,且z3∈R,求m的值.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

6个人照像
(1)站成一排,甲、乙相邻,共有多少种方法?
(2)站成一排,甲不在排头,乙不在排尾,共有多少种方法?
(3)站成前后两排,每排3个,前排比后排矮,共有多少种方法?

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<
π
2
,x∈R)的图象的一部分如图所示.
(Ⅰ)求函数f(x)的解析式;
(Ⅱ)求函数y=f(x)+f(x+2)的最小正周期和最值.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

随着经济的发展和人们生活水平的提高,人们对健康越来越重视,某研究机构从某体检中心抽查了2000名参加体检的高中生的体重发育评价数据,如下表:
偏瘦 正常 肥胖
女生(人) 200 635 y
男生(人) x 615 z
已知从这批学生中随机抽取1人,抽到偏瘦男生的概率为0.15.
(Ⅰ)若用分层抽样的方法,从这批学生中随机抽取40人,问应在肥胖学生中抽取多少人?
(Ⅱ)已知y≥120,z≥120,求肥胖学生中男生不少于女生的概率.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)焦距为2
2
,且过点(
2
,1),动直线l和椭圆C相交于A,B两点,点N为线段AB的中点.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)当N的坐标为(1,1)时,求此时△AOB的面积;
(Ⅲ)设点M也是椭圆C上的一点,且满足
OM
=
3
5
OA
+
4
5
OB
,问:是否存在两个定点F1,F2使|NF1|+|NF2|为定值?若存在,求出的坐标;若不存在,则说明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

设x∈(0,
π
2
)且1+(3-λ)sinxcosx+3cos2x≥0恒成立,则实数λ的取值范围是
 

查看答案和解析>>

同步练习册答案