Question

已知抛物线P的顶点在原点，焦点F在x轴的正半轴上，经过点H（4，0）作直线与抛物线P相交于A，B两点，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），且y₁y₂=-16．
（1）求抛物线P的方程；
（2）是否存在常数a，当点M在抛物线P上运动时，直线x=a都与以MF为直径的圆相切？若存在，求出所有a的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,抛物线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）联立方程组

y2=2px y=k(x-4)

化简得；k²x²-（8k²+2p）x+16k²=0，利用韦达定理求解．
（2）根据抛物线定义可知：|FM|=x₀+1，直线x=a都与以MF为直径的圆相切，得出：|

x0+1

2

-a|=

x0+1

2

，即可求解a的值存在不存在．

解答： 解：（1）∵抛物线P的顶点在原点，焦点F在x轴的正半轴上，
∴抛物线P的方程为y²=2px，p＞0
经过点H（4，0）作直线：y=k（x-4），
∴

y2=2px y=k(x-4)

化简得；k²x²-（8k²+2p）x+16k²=0，
∵线与抛物线P相交于A，B两点，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
∴x₁x₂=16，（y₁y₂）²=4p²x₁x₂，
∵y₁y₂=-16．
∴p²=4，p=2
故抛物线P的方程：y²=4x
（2）抛物线P的方程：y²=4x，F（1，0）M（x₀，y₀），中点N（

x0+1

2

，

y0

2

）
根据抛物线定义可知：|FM|=x₀+1，
∵直线x=a都与以MF为直径的圆相切
∴中点到直线的x=a的直线的距离：|

x0+1

2

-a|=

x0+1

2

即；a=0
故存在直线x=0都与以MF为直径的圆相切．

点评：本题考查了直线与抛物线的定义，方程组的方法结合韦达定理求解问题，属于中档题．