Question

已知函数f（x）的定义域为[0，1]．若函数f（x）满足：对于给定的T（0＜T＜1），存在t∈[0，1-T]．使得f（t+T）=f（t）成立，那么称f（x）具有性质P（T）．
（1）函数f（x）=sin（x∈[0，1]）是否具有性质P（

1

4

）？说明理由；
（2）已知函数f（x）=

-3x+1   (0≤x≤ 1 3 ) 6x-2       ( 1 3 ＜x＜ 2 3 ) -3x+4    ( 2 3 ≤x≤1)

具有性质P（T），求T的最大值；
（3）已知函数f（x）的定义域为[0，1]，满足f（0）=f（1），且f（x）的图象是一条连续不断的曲线，问：是否存在正整数n，使得函数f（x）具有性质P（

1

n

），若存在，求出这样的n的取值集合；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：函数与方程的综合运用

专题：

分析：题干中给出了一种定义，那么解题的时候就严格按照定义的要求来解答，简单的说要把我们已知的函数看成是定义中的函数，代入即可求解．

解答： 解：（1）函数f（x）=sinx（x∈[0，1]），不具有性质P（

1

4

）
 证明如下：
对任何t∈[0，1-

1

4

]=[0，

3

4

]，均有0≤t≤t+

1

4

≤1
由于函数f（x）=sinx，在x∈[0，1]上单调递增
∴f（t）＜f（t+

1

4

）
所以，函数f（x）=sinx（x∈[0，1]不具有性质P（

1

4

）
（2）T的最大值为

1

2

．求解如下：
∵f（

1

2

+

1

2

）=f（1）=-3×1-4=1，又f（

1

2

）=6×

1

2

-2=1
∴f（t+

1

2

）=f（t）在t∈[0，1-

1

2

]上有解，t=

1

2

因此，f（x）具有性质P（

1

2

），从而T可取到

1

2

   下证：

1

2

＜T＜1不可能出现．
首先，当x∈（0，

1

3

]时，f（x）=-3x+1＜1，当x∈（

1

3

，

1

2

）时，f（x）=6x-2＜6×

1

2

-2=1
即，当x∈（0，

1

2

）时，均有f（x）＜1，同理可得，当x∈（

1

2

，1），均有f（x）＞1．
假设

1

2

＜T＜1，那么，当t∈[0，1-T]时
①若t=0，则f（t）=f（0）=1，又t+T=T∈（

1

2

，1），
   所以f（t+T）=f（T）＞1，即f（t+T）＞f（t）
②若t∈（0，1-T]?（0，

1

2

），则f（t）＜1，又t+T∈（T，1），注意到

1

2

＜T＜1，故 
 f（t+T）＞1，故f（t+T）＞f（t）
这就是说，如果

1

2

＜T＜1，那么，当t∈[0，1-T]时，
均有f（t+T）＞f（t），即f（t+T）=f（t）均不成立 
综上所述，T的最大值为

1

2

（3）任取n∈N⁺，n≥2，设h（x）=f（x+

1

n

）-f（x），其中x∈[0，

n-1

n

]，则有
      h（0）=f（

1

n

）-f（0）
      h（

1

n

）=f（

2

n

）-f（

1

n

）
      h（

2

n

）=f（

3

n

）-f（

2

n

）
…
      h（

t

n

）=f（

t+1

n

）-f（

t

n

）
…
       h（

n-1

n

）=f（1）-f（

n-1

n

）
以上各式相加得h（0）+h（

1

n

）+f（

2

n

）+…+h（

t

n

）+…+h（

n-1

n

）=f（1）-f（0）=0，
即h（0）+h（

1

n

）+f（

2

n

）+…+h（

t

n

）+…+h（

n-1

n

）=0
当h（0），h（

1

n

），f（

2

n

），…，h（

n-1

n

）中有一个为0时，不妨设为h（

i

n

）=0，这里i∈{0，1，2，…，n-1}，
而0=h（

i

n

）=f（

i

n

+

1

n

）-f（

i

n

），即f（

i

n

+

1

n

）-f（

i

n

）=0?f（

i

n

+

1

n

）=f（

i

n

）故，函数f（x）具有性质P（

1

n

）（n∈N⁺，n≥2）
当h（0），h（

1

n

），f（

2

n

），…，h（

n-1

n

）均不为0时，因为其和为0，所以必然存在正数与负数，
不妨设h（

i

n

）＞0，h（

j

n

）＜0，（i＜j，i，j∈{0，1，2…，n-1}）
由于h（x）的图象也是连续不断的曲线，故，至少存在一个t∈（

i

n

，

j

n

）使得h（t）=0，即f（t+

1

n

）-f（t）=0．
亦即f（t+

1

n

）=f（t），故函数f（x）具有性质P（

1

n

）（n∈N⁺，n≥2）
综上所述，存在正整数n，且n的取值集合是{n|n∈N⁺，n≥2}．

点评：做这类型的题，一是要按照给定的定义，把已知的函数代入进去进行尝试，二是要注意函数的值域和定义域要满足条件，三是要考虑函数的单调性，四是要在没有函数方程的时候构造一个函数．