Question

已知向量

OA

=（-1，2），

OB

=（1，3），

OC

=（3，m）．
（1）若点A，B，C能构成三角形，求实数m应满足的条件；
（2）若点A，B，C构成直角三角形，且∠B=90°，求∠ACO的余弦值．

Answer 1

分析：（1）因为A，B，C能构成三角形，所以向量

AB

、

BC

不共线．算出向量

AB

、

BC

的坐标，根据向量共线的条件列式，解之即可得到实数m应满足的条件；
（2）由向量

AB

与

BC

垂直，列出关于m的方程，解之得m=-1．进而得到向量

CA

、

CO

的坐标，利用向量的夹角公式进行计算，即可得到∠ACO的余弦值．

解答：解：（1）∵

OA

=（-1，2），

OB

=（1，3），

OC

=（3，m）．
∴

AB

=

OB

-

OA

=（2，1），

BC

=

OC

-

OB

=（2，m-3）
∵点A，B，C能构成三角形，
∴向量

AB

、

BC

不能共线，得2（m-3）≠1×2，所以m≠4，
即m满足的条件是m≠4
（2）∵

AB

=（2，1），

BC

=（2，m-3）且△ABC是以B为直角顶点的直角三角形
∴

AB

•

BC

=2×2+1×（m-3）=0，解得m=-1
可得

OC

=（3，-1），
∴

CA

=

OA

-

OC

=（-4，3），

CO

=-

OC

=（-3，1），
此时，cos∠ACO=

CA • CO

| CA |•| CO |

=

-4×(-3)+3×1

(-4)2+(-3)2 × 32+12

=

3 10

10

，
∴∠ACO的余弦值等于

3 10

10

．

点评：本题给出A、B、C三点能构成三角形，求参数m的取值范围，着重考查了平面向量共线的充要条件和向量数量积运算性质等知识，属于中档题．