Question

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，EF是异面直线AC与A₁D的公垂线，则由正方体的八个顶点所连接的直线中，与EF平行的直线（　　）

A．有且仅有一条

B．有二条

C．有四条

D．不存在

Answer 1

分析：连结BD₁、AD₁，由线面垂直的判定与性质和正方体的性质，证出A₁D⊥BD₁且AC⊥BD₁．根据题意EF是异面直线AC与A₁D的公垂线，得到BD₁∥EF．由于正方体的八个顶点所连接的直线中，除BD₁外的其它直线与BD₁都不平行，所以有且仅有一条直线BD₁与EF平行．

解答：解：连结BD₁、AD₁，
∵正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB⊥平面AA₁D₁D，A₁D?平面AA₁D₁D，
∴AB⊥A₁D．
又∵正方形AA₁D₁D中，AD₁⊥A₁D，AB∩AD₁=A，
∴A₁D⊥平面ABD₁，
∵BD₁?平面ABD₁，∴A₁D⊥BD₁
同理可得AC⊥BD₁
∵EF是异面直线AC与A₁D的公垂线，即AC⊥EF且A₁D⊥EF，
∴BD₁∥EF．
∵正方体的八个顶点所连接的直线中，除BD₁外的其它直线与BD₁都不平行，
∴有且仅有一条直线BD₁与EF平行．
故选：A

点评：本题给出正方体面对角的公垂线，判断正方体的八个顶点所连接的直线与此公垂线的位置关系．着重考查了线面垂直的判定与性质、空间直线的位置关系及其判定等知识，属于中档题．