Question

已知函数f（x）=lg（a^x-b^x）（a＞1，0＜b＜1），
（1）求f（x）的定义域；
（2）判断并证明f（x）的单调性；
（3）当a、b满足什么条件时f（x）恰在（1，+∞）取正值．（理：此函数的图象上是否存在两点，过这两点的直线平行于x轴？）

Answer 1

分析：（1）要使f（x）=lg（a^x-b^x）有意义，只需a^x-b^x＞0，即(

a

b

)x＞1，结合a、b的范围可求出x的取值范围，从而得到函数的定义域；
（2）任取x₂＞x₁＞0，然后计算f(x2)-f(x1)=lg

ax2-bx2

ax1-bx1

，通过化简变形，整理可判定符号，最后根据函数单调性的定义进行判定即可；
（3）根据f（x）在（1，+∞）单调递增，则命题f（x）恰在（1，+∞）取正值等价于f（1）=0可得a、b满足的条件．（从而不存在所述两点）．

解答：解：（1）∵ax-bx＞0⇒ax＞bx(＞0)⇒(

a

b

)x＞1，
又∵

a＞1 0＜b＜1

⇒

a

b

＞1，
∴x＞0，
故函数的定义域是（0，+∞）．
（2）任取x₂＞x₁＞0，则f(x2)-f(x1)=lg

ax2-bx2

ax1-bx1

，
∴

a＞1 0＜b＜1

⇒

ax2＞ax1 bx2＜bx1

⇒ax2-bx2＞ax1-bx1＞0⇒

ax2-bx2

ax1-bx1

＞1，
∴f（x₂）＞f（x₁），即f（x）在定义域内单调递增；
（3）∵f（x）在（1，+∞）单调递增，
∴命题f（x）恰在（1，+∞）取正值等价于：f（1）=0，
∴a-b=1
（由于函数是一个严格单调递增的函数，故函数图象上不存在两点使得过此两点的直线与X轴平行）

点评：本题主要考查了对数函数的定义域，以及函数的单调性的判定和应用，同时考查了计算能力，属于基础题．