Question

（2013•房山区一模）设集合M是R的子集，如果点x₀∈R满足：?a＞0，?x∈M，0＜|x-x₀|＜a，称x₀为集合M的聚点．则下列集合中以0为聚点的有（　　）
①{

n

n+1

|n∈N}
②{x|x∈R，x≠0}
③{

2

n

|n∈N*}
④Z．

A．②③

B．②④

C．①③

D．①③④

Answer 1

分析：由已知中关于集合聚点的定义，我们逐一分析四个集合中元素的性质，并判断是否满足集合聚点的定义，进而得到答案．

解答：解：①{

n

n+1

|n∈N}中的元素构成以1为极限的数列，故对?a＞0，?x∈{

n

n+1

|n∈N}，
使0＜|x-1|＜a成立，故此集合以1为聚点，不是以0为聚点的．
②集合{x|x∈R，x≠0}，对任意的a，都存在x=

a

2

（实际上任意比a小得数都可以），使得0＜|x|=

a

2

＜a
∴0是集合{x|x∈R，x≠0}的聚点．
③集合{

2

n

|n∈N^*}，其中的元素构成以0为极限的数列，故对?a＞0，存在x∈{

2

n

|n∈N^*}，
使0＜|x-0|＜a成立，故0是此集合的聚点．
④集合Z中的元素是整数，故对?a＞0，不存在x∈Z，使0＜|x-0|＜a成立，∴0不是集合Z的聚点．
故选A．

点评：本题考查的知识点是集合元素的性质，其中正确理解新定义--集合的聚点的含义，是解答本题的关键，属于基础题．