Question

10．下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（　　）

• A． y=-x²
• B． $y=\frac{-1}{x}$
• C． $y=x+\frac{1}{x}$
• D． y=x|x|

Answer 1

分析 根据偶函数的定义可判断选项A为偶函数，而根据反比例函数在定义域上的单调性知B在定义域上没有单调性，根据减函数的定义可以判断出C在（0，1）上为减函数，这便可判断A，B，C这三个选项错误，而根据奇函数的定义及二次函数、分段函数的单调性可判断D正确．

解答 解：A．y=-x²为偶函数，∴该选项错误；
B.$y=\frac{-1}{x}$在定义域上没有单调性，∴该选项错误；
C.$y=x+\frac{1}{x}$，x∈（0，1）时，x增大时，$\frac{1}{x}$的减小幅度大于x的增大幅度，从而y减小；
∴该函数在（0，1）上为减函数，∴该选项错误；
D．y=x|x|=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}}&{x≥0}\\{-{x}^{2}}&{x＜0}\end{array}\right.$，显然该函数为奇函数；
x≥0时，y=x²为增函数，x＜0时，y=-x²为增函数，且x²＞-x²；
∴该函数在R上为增函数，即该选项正确．
故选D．

点评 考查奇函数、偶函数的定义，反比例函数在定义域上没有单调性，减函数的定义，含绝对值函数的处理方法：去绝对值号，二次函数的单调性的判断，分段函数单调性的判断．