Question

长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA1=

2

，AB=BC=2，O是底面对角线的交点．
（Ⅰ）求证：B₁D₁∥平面BC₁D；
（Ⅱ）求证：A₁O⊥平面BC₁D．

Answer 1

分析：（Ⅰ）欲证B₁D₁∥平面BC₁D，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证B₁D₁与平面BC₁D内一直线平行，而B₁D₁∥BD，且B₁D₁在平面BC₁D外，满足定理所需条件；
（Ⅱ）欲证A₁O⊥平面BC₁D，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证A₁O与平面BC₁D内两相交直线垂直，连接OC₁
，根据线面垂直的性质可知A₁O⊥BD，根据勾股定理可知A₁O⊥OC₁，满足定理所需条件．

解答：（Ⅰ）证明：依题意：B₁D₁∥BD，且B₁D₁在平面BC₁D外．（2分）
∴B₁D₁∥平面BC₁D（4分）
（Ⅱ）证明：连接OC₁
∵BD⊥AC，AA₁⊥BD
∴BD⊥平面ACC₁A₁（5分）
又∵O在AC上，∴A₁O在平面ACC₁A₁上
∴A₁O⊥BD（6分）
∵AB=BC=2∴AC=A1C1=2

2

∴OA=

2

∴Rt△AA₁O中，A1O=

AA12+OA2

=2（7分）
同理：OC₁=2
∵△A₁OC₁中，A₁O²+OC₁²=A₁C₁²
∴A₁O⊥OC₁（8分）
∴A₁O⊥平面BC₁D

点评：本题考查直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定，考查学生空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．