Question

方程f（x）=x的根称为f（x）的不动点，若函数f（x）=

x

a(x+2)

有唯一不动点，且x₁=1000，x_n+1=

1

f(  1 xn )

（n∈N^*），则x₂₀₁₁=

 

．

Answer 1

分析：先根据

x

a(x+2)

=x转化为二次方程，再由函数f（x）=

x

a(x+2)

有唯一不动点可求出a的值，然后代入确定函数f（x）的解析式，进而可得到x_n+1、x_n的关系，再由等差数列的通项公式可得到最后答案．

解答：解：由

x

a(x+2)

=x得ax²+（2a-1）x=0．
因为f（x）有唯一不动点，
所以2a-1=0，即a=

1

2

．
所以f（x）=

2x

x+2

．所以x_n+1=

1

f(  1 xn )

=

2xn+1

2

=x_n+

1

2

．
所以x₂₀₁₁=x₁+

1

2

×2010=1000+

2010

2

=2005．
故答案为：2005

点评：本题主要考查函数不动点的知识、考查数列的函数性质以及等差数列的通项公式的表示法．