Question

16．已知$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$是平面内互不相等的两个非零向量，且|$\overrightarrow{a}$|=1，$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为150°，则|$\overrightarrow{b}$|的取值范围是（　　）

• A． （0，$\sqrt{3}$]
• B． [1，$\sqrt{3}$]
• C． （0，2]
• D． [$\sqrt{3}$，2]

Answer 1

分析 如图所示，设$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b}$，则$\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$．由于|$\overrightarrow{a}$|=1，$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为150°，可得△OAB中，OA=1，∠OBA=30°．由正弦定理可得：△OAB的外接圆的半径r=1．则点B为圆上的动点．由图可令$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{OB}$=（1+cosθ，sinθ），则|$\overrightarrow{b}$|的取值范围可求．

解答 解：如图所示，设$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b}$，则$\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$．
由于|$\overrightarrow{a}$|=1，$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为150°，可得△OAB中，OA=1，∠OBA=30°．
由正弦定理可得：△OAB的外接圆的半径r=1．则点B为圆上的动点．
由图可令$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{OB}$=（1+cosθ，sinθ），
则$|\overrightarrow{b}|=\sqrt{（1+cosθ）^{2}+si{n}^{2}θ}$=$\sqrt{2+2cosθ}$．
∴$|\overrightarrow{b}|∈（0，2]$．
故选：C．

点评 本题考查了数量积运算性质、三角函数的单调性、正弦定理、三角形外接圆的性质，考查了数形结合的能力、推理能力与计算能力，属于有一定难题题目．