Question

【题目】如图，四棱锥S一ABCD中，已知AD∥BC，∠ADC=90°，∠BAD=135°，AD=DC= ，SA=SC=SD=2．
（I）求证：AC⊥SD；
（Ⅱ）求二面角A﹣SB﹣C的余弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）证明：如图，取AC的中点O，连接OD，
∵AD=DC，∴AC⊥OD，
又∵SA=SC，∴AC⊥OS，
由OD∩OS=O，得AC⊥平面SOD，
∵SD平面SOD，∴AC⊥SD．
（Ⅱ）解：由题意知OA=OC=OD，
∵SA=SC=SD，
∴O是点S在平面ABCD上的射影，
故SO⊥平面ABCD，
连接BO，则∠SBO为直线SB与平面ABCD所成的角，
由题意知∠BAC=90°，∠ACB=45°，
∴△ABC为等腰直角三角形，
且AB=AC=2，∴BO= ，
在Rt△SBO中，SB= =2 ，
∴cos∠SBO= = ，
∴二面角A﹣SB﹣C的余弦值为 ．

【解析】（Ⅰ）取AC的中点O，连接OD，由已知得AC⊥平面SOD，由此能证明AC⊥SD．（Ⅱ）由题意知OA=OC=OD，SA=SC=SD，从而SO⊥平面ABCD，连接BO，则∠SBO为直线SB与平面ABCD所成的角，由此能求出二面角A﹣SB﹣C的余弦值．